¿Qué significa aprender a dividir?

Aprender una operación no se reduce a aprender el algoritmo, ni a considerarlo central en el conocimiento del aprendizaje. Sin duda que dividir incluye elaborar y dominar ciertos recursos, entre ellos el algoritmo, pero los niños deben aprender a reconocer qué problemas se resuelven utilizando la división y cuáles no.

Asimismo, debemos tener presentes los distintos significados que la división tiene a fin de plantear problemas que no solo se relacionan con situaciones de reparto, de modo de evitar que el uso de la misma quede ligado a este único sentido.

Problemas de reparto

Son aquellos problemas que más se plantean en el aula. Las situaciones aluden a repartir una cierta cantidad y se relacionan dos magnitudes diferentes siendo el cociente de la misma naturaleza que el dividendo. En estos casos la pregunta del problema estará dirigida a determinar la cantidad que corresponde a cada parte:

Se quieren repartir 12 alfajores entre 4 niños ¿Cuántos se les dará a cada uno?

Si bien este tipo de problemas es necesario y apunta al trabajo con uno de los significados de la división, es conveniente cuidar las palabras que se utilizan en el enunciado: si se quiere que realicen un reparto será necesario buscar sinónimos de la palabra “repartir” para que la selección de una división, por parte del niño para resolver un problema, sea por la construcción personal del sentido y no por la palabra explicitada: "Si tengo que repartir entonces tengo que dividir".

En las primeras instancias, por lo general, los niños recurren a la representación gráfica para resolver la situación. Otros realizan repartos en forma numérica. Veamos algunos ejemplos:

Estrategia 1

Estrategia 2

Estrategia 3

Problemas de agrupamiento

Este significado es poco abordado, sobre todo en las primeras instancias de la enseñanza de la división.

Son problemas que implican dos magnitudes del mismo tipo, siendo el cociente de distinta naturaleza que el dividendo y el divisor. En estos casos la pregunta irá dirigida a la cantidad de partes en que se realiza un reparto:

Un grupo de 18 niños concurren al Parque Rodó. Para subir a los juegos deben colocarse de a dos.

¿Cuántas parejas se formarán?

Para este tipo de problemas las estrategias que se utilizan en forma gráfica evidencian el concepto de agrupamiento A continuación se ven algunas de ellas:

Estrategia 1

Estrategia 2

Estrategia 3

Si bien las estrategias anteriores son válidas, debemos, a medida que avanzamos y frecuentamos este tipo de propuestas, promover para la resolución el uso de aquellas operaciones que el niño ya conoce y que luego, si pensamos en el algoritmo de la división, utilizará para poder resolverlo.

Veamos con un ejemplo cómo podría resolverse una situación utilizando cada operación.

Rosina tiene 50 perlas. Quiere elaborar 5 collares iguales. ¿Cuántas perlas deberá colocar en cada uno?

Resolución con sumas sucesivas

Para este caso, los alumnos, valiéndose de la suma, utilizan el número que corresponde al divisor para realizar sumas sucesivas hasta llegar al número que corresponde al dividendo y luego cuentan la cantidad de veces que fue sumado el primero.

Resolución con restas sucesivas

Algo similar sucede al utilizar las restas, pero se parte del dividendo y se le resta el divisor. Podríamos decir que es el procedimiento inverso.

Resolución con multiplicaciones

En el caso de la multiplicación como estrategia de resolución, el razonamiento sería el siguiente:

1 perla x 5 collares = 5 perlas

2 perlas x 5 collares = 10 perlas

3 perlas x 5 collares = 15 perlas

4 perlas x 5 collares = 20 perlas

5 perlas x 5 collares = 25 perlas

6 perlas x 5 collares = 30 perlas

7 perlas x 5 collares = 35 perlas

8 perlas x 5 collares = 40 perlas

9 perlas x 5 collares = 45 perlas

10 perlas x 5 collares = 50 perlas

Esto no quiere decir que siempre deba escribirse, ya que recurriendo a las tablas de multiplicar o incluso usando la tabla pitagórica podría resolverse.

Todos los ejemplos que hemos ido planteando proponían situaciones donde el resto de la división es 0. Pensemos ahora qué sucede en aquellos casos en que “sobra”. ¿Es posible continuar repartiendo o agrupando?

Para el segundo significado la respuesta parece sencilla: si tengo que agrupar de a dos y me sobra uno, no puede agruparse. Pero en los problemas de reparto ¿es posible seguir siempre repartiendo?

En estos casos, la dificultad se encuentra en la posibilidad real de hacerlo para que la solución a la que se llega sea real. Por ejemplo, si tengo que repartir 5 alfajores entre dos niños, el que “sobra” puedo partirlo a la mitad y seguir repartiendo, pero si tengo que repartir 5 figuritas entre dos niños, la que “sobra” no la puedo cortar porque ya no serviría. Este tipo de situaciones y de respuestas deben ser objeto de enseñanza para que los resultados tengan sentido y no solo sea cuestión de resolver una división.

Los problemas de reparto en el que la división no es exacta dan lugar al trabajo con fracciones y números decimales, ya que será necesario fraccionar el número entero para llegar a la solución. En los primeros años, este tipo de divisiones estarán relacionadas con fracciones sencillas, posibles de ser representadas en forma gráfica, pero a partir de tercer grado ya puede incorporarse el trabajo con decimales en el cociente y con fracciones más complejas.

La división y el algoritmo

Comenzar a enseñar el algoritmo de la división supone un desafío mayor para el docente en comparación con la enseñanza del resto de las operaciones, puesto que implica una mayor complejidad para el alumno.

Las técnicas que se utilicen y se construyan, deben posibilitar la simplificación de tal proceso.

Pensemos qué difícil puede ser para un alumno de segundo año que está afianzando los algoritmos de suma y resta y construyendo o comprendiendo el algoritmo de la multiplicación, entender el algoritmo tradicional de la división, que implica a los otros tres

En este caso, el niño realiza un reparto a partir de la descomposición numérica del dividendo. El divisor es representado en forma gráfica y dentro de este se van repartiendo las distintas cantidades. Una vez realizado el reparto, encierra aquello que “no alcanzó para darle uno a cada uno”, lo que corresponde al resto de la división, y compone el número que corresponde al resultado. Este tipo de técnica resulta sencilla para el niño que viene trabajando con descomposición tanto en numeración como en el resto de las operaciones.

La dificultad puede llegar en el momento de repartir, cuando el dividendo es mayor y no es tan simple visualizar si alcanza para repartir o no, o cuando una de las cifras del dividendo es menor al divisor, ya que en este caso deberá desagregar las cantidades para poder realizar el reparto, por ejemplo:

Técnica 2

En el segundo caso el niño realiza el reparto al mismo tiempo que descompone, escribe los restos y “baja” las cifras para continuar, lo que demuestra un avance hacia la comprensión del algoritmo convencional.

Técnicas 3 y 4

Estas técnicas utilizadas son muy similares, la diferencia se encuentra a la hora de componer el resultado. En la primera, el niño escribe el reparto de cada una de las cifras de acuerdo con su valor posicional, para componer el número una vez repartido todo el dividendo. En el segundo, a medida que reparte compone el número a partir de la cifras. En ambos casos se introduce la resta para avanzar en la división. Estos tipos de técnicas implican un esfuerzo mayor que las anteriores, puesto que ya no se trata de repartir sino que se deberá pensar cuántos 100, 10 y 1 necesito para formar la cantidad a dividir.

Técnicas 5 y 6

En estos casos se utilizaron las técnicas convencionales, con la diferencia de que en el primero se explicita la resta a realizar y en el segundo no.

Si bien la escritura de la misma puede facilitar la comprensión, implica un camino menos económico que pensarla por compensación a través del cálculo mental.

El problema planteado implica un divisor de una cifra pero ¿qué sucede cuando este es de dos o más cifras?

Desde un punto de vista de la enseñanza de la técnica, podríamos decir que es necesario esperar a grados mayores para que el niño pueda resolver la situación, pero si nos basamos en la construcción del sentido y en la búsqueda de estrategias, del mismo modo que el niño logra descomponer para resolver la división entre una cifra, podría hacerlo con dos o tres cifras. Veamos algunos ejemplos a continuación.

Propuesta A

Llegó una entrega de 576 libros a la escuela y van a ser distribuidos, de forma equitativa, entre las 18 clases. ¿Cuántos libros le corresponde a cada clase?

ESTRATEGIA 1

En este caso el niño apeló al algoritmo, pero como no se había enfrentado hasta el momento a resolver divisiones entre dos cifras, para obtener el resultado recurrió a la multiplicación.

ESTRATEGIA 2

Aquí el niño recurrió a la descomposición, comenzando a repartir de a 10 entre las 18 clases y luego de a 1 hasta llegar a la cantidad de libros.

ESTRATEGIA 3

Este tipo de estrategia se había explicitado al comienzo del capítulo, donde se recurre a otras operaciones ya conocidas para resolver la situación. Al principio, el niño no sabía cómo resolverla, ya que manifestaba que no había aprendido a dividir entre dos cifras, pero apelando a sus estrategias logró resolverlo mediante sumas sucesivas

18 + 18= 36

36 + 18= 54

54 + 18= 72

72 + 18= 90

90 + 18= 108

108 + 18= 126

126 + 18= 144

144 + 18= 162

162 + 18= 180

180 + 18= 198

198 + 18= 216

… y así sucesivamente hasta llegar a la cantidad de libros

Socializar las diferentes maneras de resolver la situación planteada promueve en aquellos niños que aún no manejan la técnica otros modos de lograrlo.

Propuesta B

Quiero poner 42 botellas en cajones con 12 casilleros. ¿Cuántos casilleros necesito?

Como el divisor tiene dos cifras el período del dividendo que se toma tendrá 2 cifras, es decir que tomaremos la cantidad completa: 42.

Al dividir 42 : 12 tenemos que encontrar un número que multiplicado por 12 reconstruya el 42, o se acerque lo más posible a ese número.

Si el niño prueba poner el 2 en el cociente, al multiplicar 12 X 2 obtiene 24. Verificará que quedó un resto de 18 y dado que es mayor que 12, le permite aumentar el cociente.

Si luego prueba con un 3 como multiplicador del 12, obtiene 36 cumpliendo con la condición pedida: es entre los múltiplos del 12 el menor más cercano al 36.

Ahora bien, cuando se reparten 42, descomponiendo como 40 y 2. ¿Qué es cuantitativamente más importante: repartir las decenas o las unidades?

Y cuando consideramos el reparto, 12 que descomponemos como 10 y 2, ¿Qué será importante para saber cuánto le toca a cada uno: la cantidad de 10 o la cantidad de 2?

Lo que va a definir la cifra del cociente es la relación entre las decenas del dividendo y las decenas del divisor.

Sí es necesario tomar en cuenta las unidades, porque si el número de unidades del dividendo es menor que el de las unidades del divisor, al repetir el divisor tantas veces como indica el cociente se puede formar un número tan grande que sobrepase al dividendo.

Propuesta C

En una granja donde se crían distintas aves se juntó en un día 91 huevos. Los envuelven en paquetes de una docena. ¿Cuántos paquetes envolverán?

La división planteada sería: 91:12

Se abre un periodo para que los niños busquen distintos recursos, entre los que también pueden recurrir a la tabla de 12

12 X5 = 60 12 X 6= 72 12 X 7 = 91

Propiedades de la división

El conocimiento de las propiedades de una operación permite comprender la estructura de la misma.

Es tan importante el descubrimiento de las propiedades como su aplicación.

A diferencia de la suma, resta y multiplicación, la división puede ser considerada como una operación con dos resultados: el cociente y el resto. El dividendo y el divisor, junto con los valores mencionados, son los términos que se relacionan con la división.

Comprender los términos y las relaciones involucradas, permite a los niños un mayor dominio de sus estrategias.

D= d x c + r

Las figuritas

Joaquín y Pablo ganan 15 figuritas en la tapadita. Terminado el juego cada uno quiere quedarse con figuritas. Si quieren repartir en partes iguales para no pelearse ¿qué cantidad de figuritas le tocará a cada uno?

Resolviendo la situación

-Al pensar un número que multiplicado por 2 dé 15 o un número próximo llegan a

7 x 2 = 14

Una vez que los niños resolvieron la situación, el docente debe generar la reflexión acerca de la función que cumple cada uno de los números involucrados en el enunciado propuesto:

15, la cantidad de figuritas ganadas, es el Dividendo

2, la cantidad de niños, es el divisor

7, la cantidad de figuritas que le corresponde a cada uno, es el cociente.

1, la cantidad de figuritas que sobran, es el resto.

De esta manera los niños pueden visualizar que lo que deben averiguar es el cociente.

Caso 1

En la panadería... El panadero debe armar bolsas con 5 alfajores de chocolate. Para saber la cantidad de bolsas que debe armar completa el cuadro

Cantidad de alfajores

Cantidad de bolsas

Cantidad de alfajores que sobran

26

35

52

45

En esta propuesta es esperable que los niños completen el cuadro realizando divisiones por 5.

Reflexiones colectivas:

-La cantidad de bolsas se relaciona con el cociente.

-la cantidad de alfajores que sobran se relaciona con el resto, siempre es un número menor a 5.

Caso 2

El panadero del turno nocturno encontró el cuadro incompleto.

Ayúdalo a completarlo:

Cantidad de alfajores

Cantidad de bolsas

Cantidad de alfajores que sobran

5

3

15

0

69

4

45

0

Reflexiones colectivas:

En algunos casos deberán buscar el cociente, por lo cual tendrán que dividir (entre 5). En otros casos deberán buscar el Dividendo, por lo que deberán multiplicar y sumar el resto.

De acuerdo al nivel las situaciones se pueden ir complejizando por ejemplo:

Situación

Llega una donación de 64 libros de cuentos para los alumnos de tercer año. se les entrega 3 a cada uno y sobran 4. ¿Cuántos alumnos hay en tercer año?

Es esperable que los niños identifiquen y relaciones:

-la cantidad de libros que llegan, 64 es el dividendo.

-la cantidad que se le dio a cada niño, 3, es el cociente

-la cantidad de libros que sobraron, 4 es el resto

-deberán averigual la cantidad de alumnos que hay, es decir el divisor

D= d x c + r

64= d x 3 + 4 Deberán buscar un número que multiplicado x 3 y sumado a 4 les dé 64.

Buscarán distintos caminos y pondrán en juego sus estrategias hasta llegar a

20 x 3 + 4= 64

60= d x 3 + 4

64 - 4= d x 3

60 : 3 = d

d=20

División exacta

Una división es exacta cuando el resto es igual a cero.

D = d x c

En este caso se puede visualizar que si el dividendo se multiplica o se divide por un número, el cociente queda multiplicado o dividido por ese número.

Por ejemplo: 10 ÷ 2 = 2 x 5.

División entera

Una división es entera cuando el resto no es cero, pero siempre menor que el divisor.

D= d x c + r

Por ejemplo: 30 ÷ 7 = 4 (resto 2), por lo tanto, divisor x cociente + resto = 7 x 4 + 2 = 28 + 2 = 30 = dividendo.

Propiedad no conmutativa

La división de números naturales no es conmutativa, el orden del dividendo y del divisor varía el cociente.

Por ejemplo: 12 ÷ 6 = 2 6 ÷ 12 = 0,5

Propiedad distributiva

Es válida la propiedad distributiva con respecto de la división cuando se descompone el dividendo en sumas o restas.

Por ejemplo: 154 ÷ 2

Al descomponer el dividendo en sumas:

154 = 140 + 14

140 ÷ 2 + 14 ÷ 2 = 70 + 7 = 77

Al descomponer el dividendo en restas:

154 = 174 - 20

174 ÷ 2 - 20 ÷ 2 = 87 - 10 = 77

La división y los números cero y uno

Cero dividido entre cualquier número da cero: por ejemplo,

0 :10 = 10

No podemos dividir por cero, ya que no existe ningún cociente que multiplicado por 0 sea igual al dividendo.

Cuando el divisor es 1 el cociente es igual al dividendo

Por ejemplo:

18:1= 18 5462: 1= 5462

el número 1 es el elemento neutro de la división de números naturales.

Descomposición multiplicativa

En la división de números naturales el cociente no varía si se lo descompone multiplicativamente.

El docente debe proponer situaciones en la que le permita a los niños reflexionar sobre las propiedades.

1-Lee el diálogo entre estas dos niñas:

-Laura: Si divides un número entre otro, el resultado Siempre es menor que el dividendo

-Jimena: No siempre. Hay casos en los que el cociente es un número mayor que el dividendo.

¿Quién de las dos tiene razón? ¿Por qué?

2- En la clase juntaron $1625 para comprar stickers .

Debían averiguar cuánto dinero tienen para cada niño. Sabiendo que en la clase hay 25 niños propusieron hacer el siguiente cálculo para averiguarlo:

1625 :25

Averigua quién llegó a resolverlo correctamente y fundamenta.

Caso A

Agustina realizó primero 1625 :5 y el resultado lo divide por 5

Caso B

Juan en una primera instancia hizo 1625 : 10, a continuación volvió a dividir 1625:10 y luego 1625:5. Por último sumó todos los resultados parciales.

Caso C

Martina lo resolvió de esta manera, 1000 : 25 + 600 :25 + 25: 25

3-Buscar distintas formas de resolver 2400 : 40

Analizar las estrategias utilizadas y reflexionar sobre algunas que puedan resultar incorrectas.

4- ¿Verdadero o falso? Fundamentar cada una de las igualdades

648 : 36 = 648 : 30 y el resultado dividido 6

648 : 36 = 648 c: 40 - 4

648 : 36 = 600 : 36 + 48 :36

5- ¿Posible o imposible?

a.¿es posible o imposible que en una operación de dividir el dividendo sea 36, el cociente 14 y el resto 1? Fundamentar la respuesta

b-Cambia el valor del dividendo para que se pueda resolver.