Contenidos y conceptos programáticos vinculados:
- Numeración Racional.
- Representaciones.
- Expresiones decimales y fraccionarias: escrituras equivalentes, interpretación.
Objetivos
- Argumentar sobre la equivalencia de distintas representaciones: fracción - fracción, decimal-decimal, fracción-decimal.
- El número mixto como otra representación posible.
Desarrollo
Dividimos la clase en grupos de 4 o 5 integrantes y entregamos varias hojas en blanco a cada grupo.
Se explica la dinámica de la actividad sin leer ni explicar la situación problema a resolver.
Se le planteará a los grupos realizar la actividad 1, partes a y b de la página 34 del Cuaderno para Hacer Matemática de Sexto.
Durante cinco minutos leer la consigna en forma individual.
Luego volcar las ideas y aquello que comprendieron al equipo, que será el encargado de resolver la situación que se plantea de forma conjunta.
Es importante que cada grupo discuta y registre las diferentes explicaciones pensadas para la resolución de la tarea.
Durante el trabajo de los equipos el docente irá pasando por las diferentes mesas, observando y registrando las diferentes discusiones, explicaciones y análisis que pudieran surgir.
Como afirman Alonso y Damisa “es imprescindible recoger información sustantiva cuando se implementa la actividad en el aula para realizar el análisis a posteriori, con el fin de confrontar lo planificado con lo que realmente sucedió”.
Una vez culminado el tiempo para la realización de la tarea se realizará la puesta en común. Cada equipo expondrá las decisiones tomadas y sus fundamentos.
Iremos registrando en un papelógrafo las ideas matemáticas que se expongan, facilitado por el trabajo en equipo de las tres maestras en clase.
Por otra parte se discutirán y pondrán en cuestión ideas erróneas que puedan surgir.
Una vez finalizada la actividad seguimos como proyección con la parte c del desafío. Esta será analizada en la puesta en común retomando las ideas matemáticas y conclusiones elaboradas en el papelógrafo.
Ideas que exponen los alumnos e intervenciones docentes
Debido a que es un sexto grado y en otros años de la escolaridad se abordan diferentes secuencias vinculadas a la numeración racional, sus representaciones, relaciones de orden y equivalencias, se espera que los alumnos utilicen para la explicación de la tareas realizada algunas nociones matemáticas ya abordadas.
- La mayoría del grupo puede tener adquirida la noción de que un número tiene varias representaciones. Se espera que reconozcan algunas de las equivalencias que se presentan en las diferentes representaciones del número.
- La mayoría puede conocer y haber trabajado con la recta numérica como modelo matemático para ordenar y comparar números. Pero es probable que algunos alumnos asocien un único número racional a cada punto de la recta. Estp se deberá abordar para resignificar la idea de equivalencias o diferentes representaciones de un mismo número en el campo de los racionales.
- Es probable que algunos alumnos utilicen explicaciones que se basen en la comparación del número con el 1, utilizando reglas que le permitan identificar una fracción como mayor, menor o igual a la unidad. Reglas del tipo “Si tienen el numerador y el denominador igual…”, “si el numerador es mayor que el denominador dos veces…”, estableciendo relaciones entre ellos.
- Se espera que gran parte del grupo utilice determinados criterios de comparación en decimales: comparar solo la parte entera diferenciándola de la decimal, comparar décimos, centésimos, etcétera. Es probable que surjan dificultades en la explicación de sus decisiones.
- Es probable que en la comparación de números decimales algunos alumnos continúen apelando a algunos criterios utilizados para la comparación de números naturales. Se piensa a priori en problematizar la idea de siguiente propia de los naturales.
- Pueden surgir algunas dificultades en la comparación de expresiones decimales y la escritura de cada orden y sus relaciones vinculadas al cero en las expresiones decimales (cero medial), dificultando la comprensión del valor posicional en las expresiones decimales (décimos, centésimos etc)
Conclusiones
Esta actividad tiene como objetivo didáctico favorecer instancias donde los alumnos sean capaces de tomar decisiones, explicar los procedimientos realizados fundamentando y justificando el porqué de sus decisiones.
La autonomía del alumno (asumir la responsabilidad de su tarea) implica apropiarse de las decisiones tomadas para defenderlas así como también a los procedimientos empleados para su resolución. Esta postura requiere un docente que favorezca y facilite el intercambio y la discusión permitiendo que el saber circule en el aula.
Algunas decisiones didácticas que apoyan esta postura:
- La no explicación de la tarea por parte del docente, permitiendo que primero en forma individual y luego colectiva los alumnos se apropien de la comprensión de la situación problema para luego discutirla en su equipo de trabajo.
- En el comienzo de la puesta en común es pertinente solicitar a uno de los equiṕos que expliquen la consigna y tarea que debían realizar, trasladando el “poder” de la palabra a los alumnos.
- Durante la puesta en común se debe procurar que el conocimiento circule en todos los equipos, procurando no sancionar el error como algo negativo, sino preguntando para generar en el colectivo un conflicto que los lleve a pensar en el asunto matemático desde otras perspectivas.
- Es importante que se validen las diferentes estrategias de resolución como procedimientos diferentes para llegar a un resultado, aunque luego se podrá analizar cuál es la más “económica” por ejemplo.
- Las intervenciones docentes debe dirigirse intencionalmente, a abordar el problema de la escritura y de las relaciones entre las diferentes posiciones en los números racionales.
- Este tipo de intervención de las maestras procura poner en juego los aportes de los autores Broitman, Itzcovich y Quaranta
"...es necesario ejercer una cierta presión para que evolucione la escritura de los alumnos y que estos se involucren en un análisis profundo del valor posicional. La evolución desde la noción espontánea y producciones erróneas hacia formas convencionales, y de las relaciones implícitas hacia la explicitación de las mismas, fueron promovidas por las intervenciones de los maestros, muchas de ellas, en momentos de trabajo colectivo posterior a la resolución de problemas."
Conocimientos matemáticos que circulan en el aula a partir de la actividad elegida
El objetivo de la actividad se centra en argumentar equivalencias en las diferentes representaciones de los racionales, pero son diversos los conocimientos matemáticos que circularon en el aula a partir de ella.
Argumentar implica haberse apropiado de determinados conceptos o conocimientos que permitan sustentar mis afirmaciones o explicaciones.
La actividad planteada tiene como antecedente secuencias de trabajo en el campo de los racionales realizadas en otros años escolares. Muchos de los conocimientos que se evidenciaron aquí fueron conocimientos o conclusiones que los alumnos elaboraron en esas actividades.
Ejemplo de ello es la relación entre el numerador y el denominador en una fracción o el reconocer que existen diferentes representaciones de un mismo número en el campo de los racionales o escrituras equivalentes.
Se ponen en evidencia otros conocimientos:
- la relación de orden en los racionales,
- la escritura en cada orden,
- sus relaciones y el rol del cero.
- La expresión decimal,
- décimos, centésimos y el valor posicional.
En cuanto a las representaciones se busca.
- evidenciar el uso de fracciones, expresiones decimales y expresión mixta, estableciendo la vinculación entre dichas representaciones.
- Analizar algunas rupturas entre los números racionales y los naturales vinculada a la representación y orden.
- Usar criterios de comparación en decimales: comparar sólo la parte entera, la decimal, etc.
Entran en juego las nociones relativas a las fracciones mayores, menores o iguales a 1, estableciendo así relaciones entre numerador y denominador, y las reglas creadas en las comparaciones.
Por último, se puede evidenciar el conocimiento relativo a la representación de las expresiones en la recta numérica.
Intervenciones docentes
Las intervenciones docentes deben:
- permitir la circulación de la palabra en el aula,
- generar el conflicto a través de la pregunta,
- validar algunas afirmaciones y conocimientos que circularon
- y dejar abierta la duda para el abordaje futuro de otras cuestiones que se evidenciaron como menos comprensibles a la mayoría del grupo.
Plantearemos cierres provisorios donde se reafirmen algunos aspectos matemáticos vinculados a las equivalencias, a las relaciones de orden en las expresiones decimales y el valor del cero.
Se debe valorar como positivo el uso de determinados argumentos matemáticos por parte de los alumnos para justificar las decisiones tomadas en la resolución del problema.
Es probable que se evidencie la necesidad de retomar algunos aspectos acerca del análisis del valor posicional en decimales y la vinculación de las diferentes representaciones en los racionales.
En síntesis, como sostienen Broitman, Itzcovich y Quaranta :
"si bien la potencia de los problemas para levantar concepciones y conocimientos previos es fundamental, no es suficiente. Las intervenciones de los docentes y las interacciones entre pares son las que han provocado la aparición de nuevos conocimientos en el aula".
Integración de las TICS
La actividad anterior evidencia la dificultad en la comparación de decimales y el valor posicional en este campo.
Se retoma el papelógrafo con el registro de los saberes que circularon en el aula durante la puesta en común y se asigna para la realización en equipos una serie en PAM.
Ingresando al usuario Ceibal con número de cédula, se elige el ícono PAM. Una vez en la plataforma vamos a Crear Serie
Seleccionamos el apartado Número decimal, y allí "comparación de números decimales" -> Introducción correspondiente a sexto. Aquí disponemos de actividades de comparación de expresiones decimales.
Las actividades disponibles permiten ir en un orden de complejidad creciente.
Nuestra intervención docente buscará generar conflictos que nos permitan avanzar hacia reglas de comparación de números decimales.
Primera actividad
Esta actividad nos permite, a través del apoyo gráfico de la tabla, comparar números a través de su valor posicional.
Buscaremos generar un conflicto en relación al valor del cero en decimales. Para eso preguntamos a los alumnos qué sucedería si agregamos a uno de los número de la tabla el cero en la posición de los centésimos y milésimos.
¿Tendrá el número otro valor? ¿O no cambia con agregarle ceros al final a la derecha?
Esto nos permite evidenciar una ruptura entre la numeración natural y racional. En este caso el cero podemos decir que “no tiene valor”.
¿Pero siempre el cero no tiene valor en los decimales?
¿Qué sucede en este caso?
13, 1 y 13, 01 ¿Cuál es mayor? ¿Qué nos indica el cero en este caso?
¿Y en 0, 12 qué nos indica el 0?
Reformulamos la regla.
Es potente cometer errores intencionales y observar las pistas que nos da la plataforma para deducir reglas en la comparación.
Por ejemplo:
Compara los números decimales columna por columna. Comienza por la izquierda, tan pronto como encuentres dos dígitos diferentes en la misma columna, el dígito con el menor valor corresponde al menor número decimal.
En 13, 3 es menor a 13, 1 ya que 3 es menor que 1.
Esto nos permite visualizar reglas del tipo: compara primero la parte entera, si la parte entera es igual compara la parte decimal.
Actividad 2
Esta actividad presenta un mayor nivel de complejidad, debido a que deben compararse más números, pero siguiendo los criterios de comparación de la actividad anterior retomamos la idea de valor posicional en decimales. Reafirmamos los beneficios de comparaa primero la parte entera y luego la decimal.
Actividad 3 : El valor del 0 en los decimales
Con la actividad siguiente volvemos a cuestionar el valor del 0 en los números decimales.
Como actividad de cierre planteamos a los alumnos en equipos escribir una serie de reglas para comparar decimales, que serán entregadas a los alumnos de quinto año para que las pongan en práctica en la resolución de problemas.