La proporcionalidad entre magnitudes es un concepto que permite conectar las matemáticas a las vivencias cotidianas y al quehacer práctico.
Debemos partir del concepto de magnitud que venimos trabajando desde el primer ciclo: una propiedad o cualidad de los cuerpos, objetos, o sistemas físicos que permite asignarles un valor numérico.
Ese valor numérico se obtiene mediante comparaciones con objetos soportes (balanzas, metros, litros, etc.).
De acuerdo a aquella propiedad que queremos medir, utilizaremos determinada magnitud.
Relaciones entre magnitudes
Área del conocimiento matemático/Numeración: Racionales/Operaciones
Contenidos Programáticos
4to año:
- Operaciones: La proporcionalidad.
- El coeficiente de proporcionalidad natural.
- Los porcentajes menores de 100%.
5to año:
- Racionales: La fracción como expresión de relación de proporcionalidad directa.
- Operaciones: La proporcionalidad.
- La relación de proporcionalidad y no proporcionalidad.
6to año:
- Racionales: Las relaciones de proporcionalidad directa e inversa.
- Operaciones: La proporcionalidad.
- La relación de proporcionalidad directa, inversa y otras.
- Las distintas representaciones gráficas de proporcionalidad directa, inversa.
Actividad: Relaciones entre magnitudes
Las magnitudes pueden estar relacionadas o ser independientes entre sí.
Dentro de aquellas que están relacionadas, algunas tienen una relación proporcional.
Las relaciones proporcionales pueden ser directas o inversas.
Propósito:
- Identificar magnitudes relacionadas y magnitudes independientes.
En duplas o de forma individual:
Escribe tres ejemplos en donde las magnitudes se relacionan y tres ejemplos en donde sean independientes.
Actividad 2: Proporcionalidad en la escuela
Propósito:
- Identificar relaciones de proporcionalidad en objetos y sistemas en la escuela.
Ahora bien, dentro de las magnitudes que se relacionan, encontramos aquellas que son proporcionales.
Completa los números que faltan en las líneas punteadas:
Si en la clase somos 24 niños, hay………..championes, ……..túnicas y …….moñas.
También hay………..ojos,...........brazos y ……….piernas.
Si en el comedor almuerzan 2 niños por mesa y en cada turno van a almorzar 100 niños, se necesitan…….mesas, ……..cubiertos,.........vasos y ……...sillas.
Si en cada clase hay una maestra, hay………..maestras en la escuela.
Puesta en común:
¿Cuáles son las magnitudes proporcionales?
cantidad de niños
…….championes
…….moñas
…….túnicas
…….ojos
…….brazos
…….piernas
…….vasos
…….cubiertos
…….sillas
1 niño - 2 championes, 2 ojos, 2 brazos, 2 piernas, 2 cubiertos.
1 niño - 1 moña, 1 túnica, 1 vaso, 1 silla
Con este ejercicio podemos observar que:
- si una magnitud se multiplica por cualquier número la otra deberá ser multiplicada por la misma cantidad,
- si una se reduce a la mitad o a la tercera parte, la otra también se reduce en la misma proporción.
Hablamos por tanto de PROPORCIONALIDAD DIRECTA.
Por ejemplo:
En este caso la constante de proporcionalidad es 2, ya que si multiplicamos la cantidad de niños por un número, el valor correspondiente a los championes queda multiplicado por el mismo número. En este caso 2 (championes) le corresponde a 1 (niño).
Si los niños se multiplican, deberemos siempre multiplicar al 2 por dicho número.
Actividad 3: Constante de proporcionalidad directa
Propósito
- Identificar la constante de proporcionalidad directa.
Propuesta
Analiza la siguiente tabla y completa los espacios que faltan
Realización individual o en pequeños grupos.
Puesta en común:
¿Qué datos eran importantes identificar para poder completar la tabla? ¿En qué se fijaron? ¿Qué relación se mantuvo en toda la tabla?
Análisis colectivo
Cuando nos encontramos con relaciones de proporcionalidad directa, todos los valores de la primera magnitud (primera columna de la tabla) se multiplican por un mismo número para hallar el valor de la siguiente columna.
Ese valor es el que denominamos CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD.
Encontrando dicho valor somos capaces de identificar cualquier relación que se plantee dentro dicha situación.
¿Cómo lo encontramos?
Dividiendo el valor de la segunda columna entre la primera.
Por ejemplo:
Si con 7 bolsas de leche, llenamos 28 vasos, el cálculo que debemos hacer es:
28:7=4
4 será entonces nuestra CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD y significa que al valor 1 le corresponde 4. 1 bolsa de leche, 4 vasos.
Una vez encontrada esta variable, puedo calcular fácilmente cuando lo que tengo son los números de vasos.
Si tengo 200 vasos, para averiguar la cantidad de bolsas, debo hacer:
200:4=50, o sea que con 50 bolsas lleno 200 vasos.
Actividad 4: Proporcionalidad inversa y constante de proporcionalidad inversa
Así como observamos las relaciones de proporcionalidad directa, encontramos relaciones de proporcionalidad inversa.
En estas el valor de la segunda magnitud no se multiplica cuando la primera lo hace, sino que se divide.
Llegan a la escuela 1000 lápices de colores. Cuando los vamos repartiendo entre los alumnos, vemos que la relación entre los lápices y la cantidad de niños es INVERSAMENTE PROPORCIONAL.
Observa y completa la tabla:
Cuando la proporcionalidad es inversa el productos entre cada par de cantidades se mantiene constante. Por ejemplo:
10x100=50x20
Actividad 5: Proporcionalidad y porcentajes
Propósito
- Identificar y relacionar los cálculos de porcentajes con relaciones de proporcionalidad.
Propuesta
¡DESCUENTO DE UN 20% POR FIN DE TEMPORADA!
¡LIQUIDAMOS TODAS LAS PRENDAS DE VERANO CON UN PRECIO INCREÍBLE!
- Completa la tabla con los valores que faltan.
A tener en cuenta:
El símbolo matemático % quiere decir “por ciento”.
Representa una razón en el que 100 es el denominador. En este caso en particular, 20%, significa que cada 100 pesos se descontarán 20
20/100=0,20.
Para saber cuál será el descuento en cada caso, la estrategia más económica será multiplicar el precio por la razón, en este caso 0,20.
Actividad 6: Identificando el tipo de relación entre magnitudes
Propósito
Analizar las relaciones entre distintas magnitudes y determinar si existen relaciones de proporcionalidad directa, inversa o no existe relación.
Observa las siguientes tablas e identifica el tipo de relación existente entre ellas:
- si son directamente proporcionales,
- inversamente proporcionales
- o si no existe relación entre ellas.
Encuentra la constante de proporcionalidad y explica en cada caso cómo lo descubriste y fundamenta tu respuesta.
Elige una de las tablas e inventa una situación problema que pueda resolverse con ella.
Actividad 7: Proporcionalidad en nuestro cuerpo
Propósito:
- Establecer relaciones de proporcionalidad a través de la medición, observación y comparación en nuestro propio cuerpo.
- Utilizar estrategias de estimación y manejar el error en las mediciones.
Hay medidas en nuestro cuerpo que se relacionan.
Los artistas plásticos se han encargado a lo largo de la historia, a descubrir las reglas generales que se desprenden de la observación del cuerpo humano.
Uno de ellos fue Leonardo Da Vinci, quien como anatomista se encargó de describir en una de sus grandes obras las leyes generales de las proporciones en el cuerpo humano.
Midiendo diferentes partes del cuerpo y comparándolas, llegó a la conclusión de que ciertas proporciones se repetían en todos los cuerpos.
En esta obra Da Vinci observa las proporciones entre las diferentes partes del cuerpo y las escribe en su dibujo:
- una palma es la anchura de 4 dedos
- un pie es la anchura de 4 palmas
- un antebrazo es la anchura de 6 palmas
- la altura de un hombre son 4 antebrazos
- un paso es igual a 4 antebrazos
- la longitud de los brazos extendidos es igual a su altura
- la altura de la cabeza hasta la barbilla es ⅛ de la altura
- la anchura máxima de los hombros es un cuarto de la altura
- la altura de la oreja es 1/3 de la longitud de la cara.
Estas proporciones están dadas para un hombre adulto, y puede que en los niños algunas de estas relaciones no sean estrictamente exactas. Pero es una oportunidad de vivenciar algunas relaciones en nuestro cuerpo y utilizar la estimación e incluso medidas no convencionales para dialogar con Da Vinci en sus observaciones.
Propuesta:
- ¿Será verdad lo que establece el artista? ¿Cómo podemos averiguarlo? ¿Qué tipo de objetos podremos utilizar?
- ¿Hay estimaciones que podemos realizar a simple vista?
- Tiempo destinado a la exploración.
Puesta en común: Si se establecen cercanamente estas relaciones ¿qué sucederá cuando crezca nuestra mano? ¿y nuestra cabeza?
Probablemente todas las otras partes de nuestro cuerpo crecerán igual. A eso le llamamos una relación de proporcionalidad. Cuando una magnitud se multiplique, la otra lo hará a la misma vez.
Propiedades de la proporcionalidad directa
Cuando una de las cantidades en la relación se multiplica o se divide por un número y a la otra le sucede lo mismo hay proporcionalidad directa.
- Si se suman dos cantidades de la misma magnitud, al resultado le corresponde la suma de las cantidades correspondientes. Por ejemplo, si a 10 le corresponde el 50 y a 40 le corresponde 200, a 10+40, le corresponde 50+200. A 50 le corresponde 250.
- La razón entre dos cantidades de la misma magnitud es igual a la razón entre las cantidades correspondientes de la misma magnitud.
Propiedades de la proporcionalidad inversa
- Cuando una de las cantidades de una magnitud aumenta y la otra disminuye en la misma proporción, hay proporcionalidad inversa.
- Cuando una magnitud aumenta, la otra aumenta en la misma proporción.
- Al doble de una magnitud, le corresponde la mitad de la otra y a su vez, a la mitad de una de las magnitudes, le corresponde el doble de la otra.
En los THC
En los libros de hacer matemática de 4to, 5to y 6to vienen actividades correspondientes a esta temática que podrían acompañar este trabajo.
Por ejemplo:
LHM 4to año: pág. 50
LHM 5to año: pág. 52
LHM 6to año: pág. 69